Question

8．己知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$，$-\sqrt{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cosx，sinx），x∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（I）若向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$平行，求tanx的值；
（Ⅱ）若向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，求x的值．

Answer 1

分析 （I）向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$平行，可得$\sqrt{2}$sinx+$\sqrt{2}$cosx=0，化简即可得出；
（II）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{2}cosx$-$\sqrt{2}$sinx，$|\overrightarrow{a}|$=2，$|\overrightarrow{b}|$=1．可得$cos\frac{π}{3}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\sqrt{2}cosx-\sqrt{2}sinx}{2}$=$\frac{1}{2}$，化简即可得出．

解答 解：（I）∵向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$平行，∴$\sqrt{2}$sinx+$\sqrt{2}$cosx=0，化为tanx=-1；
（II）∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\sqrt{2}cosx$-$\sqrt{2}$sinx，$|\overrightarrow{a}|$=2，$|\overrightarrow{b}|$=1．
∴$cos\frac{π}{3}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\sqrt{2}cosx-\sqrt{2}sinx}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\sqrt{2}$cosx-$\sqrt{2}$sinx=1，∴$sin（\frac{π}{4}-x）$=$\frac{1}{2}$，
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴$（\frac{π}{4}-x）$∈$（-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}）$．
∴$\frac{π}{4}$-x=$\frac{π}{6}$，
解得x=$\frac{π}{12}$．

点评 本题考查了向量共线定理、向量的夹角公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．