Question

如图，已知抛物线C的顶点在原点，开口向右，过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦长为2，过C上一点A作两条互相垂直的直线交抛物线于P,Q两点.

（1）若直线PQ过定点，求点A的坐标；
（2）对于第（1）问的点A，三角形APQ能否为等腰直角三角形？若能，试确定三角形APD的个数；若不能，说明理由.

Answer 1

（1）,（2）一个

试题分析：（1）确定抛物线标准方程只需一个独立条件，本题条件为已知通径长所以抛物线的方程为.直线过定点问题，实际是一个等式恒成立问题.解决问题的核心是建立变量的一个等式.可以考虑将直线的斜率列为变量，为避开讨论，可设的方程为，与联立消得，则，设点坐标为，则有，代入化简得：因此，点坐标为，（2）若三角形APQ为等腰直角三角形，则的中点与点A连线垂直于.先求出的中点坐标为，再讨论方程解的个数，这就转化为研究函数增减性，并利用零点存在定理判断零点有且只有一个.
试题解析：(1)设抛物线的方程为,依题意,,
则所求抛物线的方程为.                  (2分)
设直线的方程为,点、的坐标分别为.
由,消得.由,得,
,.∵,∴.
设点坐标为,则有.
,,
∴或.
∴或, ∵恒成立. ∴.
又直线过定点,即,代入上式得
注意到上式对任意都成立,
故有,从而点坐标为.                (8分)
(2)假设存在以为底边的等腰直角三角形,由第（1）问可知,将用代换得直线的方程为.设,
由消,得.
∴ ,.
∵的中点坐标为,即,
∵,∴的中点坐标为.
由已知得,即.
设,则,
在上是增函数.又,,
在内有一个零点.函数在上有且只有一个零点,
所以满足条件的等腰直角三角形有且只有一个.            (12分)