Question

如图所示,设P是抛物线C₁:x²=y上的动点,过点P作圆C₂:x²+(y+3)²=1的两条切线,交直线l:y=-3于A、B两点.

(1)求圆C₂的圆心M到抛物线C₁准线的距离;
(2)是否存在点P,使线段AB被抛物线C₁在点P处的切线平分?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）  （2）存在点P满足题意,点P的坐标为(±,2)

解:(1)因为抛物线C₁的准线方程为y=-,
所以圆心M到抛物线C₁的准线的距离为
=.
(2)设点P的坐标为(x₀,),抛物线C₁在点P处的切线交直线l于点D.
再设A,B,D的横坐标分别为x_A,x_B,x_D,
过点P(x₀,)的抛物线C₁的切线方程为
y-=2x₀(x-x₀).①
当x₀=1时,过点P(1,1)与圆C₂相切的直线PA的方程为
y-1=(x-1).
可得x_A=-,x_B=1,x_D=-1,x_A+x_B≠2x_D.
当x₀=-1时,过点P(-1,1)与圆C₂相切的直线PB的方程为y-1=-(x+1),
可得x_A=-1,x_B=,x_D=1,x_A+x_B≠2x_D,
所以-1≠0.
设切线PA、PB的斜率为k₁,k₂,
则PA:y-=k₁(x-x₀),②
PB:y-=k₂(x-x₀),③
将y=-3分别代入①②③得
x_D=(x₀≠0),
x_A=x₀-,
x_B=x₀-(k₁,k₂≠0),
∴x_A+x_B=2x₀-(+3)（+）.
又=1,
即(-1)-2(+3)x₀k₁+(+3)²-1=0.
同理,(-1)-2(+3)x₀k₂+(+3)²-1=0.
∴k₁、k₂是方程(-1)k²-2(+3)x₀k+(+3)²-1=0的两个不相等的根,
从而k₁+k₂=,
k₁·k₂=.
因为x_A+x_B=2x_D,
所以2x₀-(3+)（+）=,
即+=.
从而=,
进而得=8,
所以x₀=±.
综上所述,存在点P满足题意,点P的坐标为(±,2).