Question

14．函数y=$\frac{1}{4}$•2^x和y=$\frac{1}{3}$x²的图象如图所示，其中有且只有x=x₁、x₂、x₃时，两函数值相等，且x₁＜0＜x₂＜x₃，O为坐标原点．
（Ⅰ）请指出图中曲线C₁、C₂分别对应的函数；
（Ⅱ）请判断以下两个结论是否正确，并说明理由．
①当x∈（-∞，-1）时，$\frac{1}{4}$•2^x＜$\frac{1}{3}$x²；
②x₂∈（1，2）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据二次函数和指数型函数的图象和性质，可得曲线C₁、C₂分别对应的函数；
（Ⅱ）根据函数图象，数形结合，可得两个结论的正误．

解答 解：（Ⅰ）y=$\frac{1}{3}$x²是二次函数，故与图中C₁对应；
函数y=$\frac{1}{4}$•2^x是指数型函数，故与图中C₂对应；
（Ⅱ）当x=-1时，$\frac{1}{4}$•2^x＜$\frac{1}{3}$x²，
当x=0时，$\frac{1}{4}$•2^x＞$\frac{1}{3}$x²，
故x₁∈（-1，0），
故①当x∈（-∞，-1）时，$\frac{1}{4}$•2^x＜$\frac{1}{3}$x²正确；
当x=1时，$\frac{1}{4}$•2^x＞$\frac{1}{3}$x²，
当x=2时，$\frac{1}{4}$•2^x＜$\frac{1}{3}$x²，
当x=5时，$\frac{1}{4}$•2^x＜$\frac{1}{3}$x²，
当x=6时，$\frac{1}{4}$•2^x＞$\frac{1}{3}$x²，
故x₂∈（1，2），x₃∈（5，6），
故②正确；

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，指数型函数的图象和性质，数形结合思想，难度中档．