Question

12．已知向量|$\overrightarrow{a}$|=3，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{3}{2}$，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，则向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 对|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$两边平方计算|$\overrightarrow{b}$|，根据向量的数量积的定义计算向量的夹角的余弦值，再代入投影公式计算．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，∴|$\overrightarrow{a}$|²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+|$\overrightarrow{b}$|²=$\frac{27}{2}$，
即9+3+|$\overrightarrow{b}$|²=$\frac{27}{2}$，∴|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
设$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为θ，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cosθ，
即$\frac{3}{2}$=3×$\frac{\sqrt{6}}{2}$cosθ，∴cosθ=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴向量$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为|$\overrightarrow{a}$|cosθ=3×$\frac{\sqrt{6}}{6}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．