Question

已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量

m

=（3c-b，a-b），

n

=（3a+3b，c），

m

∥

n

．
（1）求cosA的值；    
（2）求sin（2A+30°）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量共线（平行）的坐标表示,两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）利用向量的数量积的坐标运算与余弦定理可求得cosA的值； 
（2）利用倍角公式与两角和的正弦即可求得sin（2A+30°）的值．

解答： 解：（1）∵（3c-b）c-（a-b）（3a+3b）=0，
∴a²=b²+c²-

1

3

bc，
又由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴cosA=

1

6

；
（2）由cosA=

1

6

，A为△ABC的内角得：sinA=

1-cos2A

=

35

6

，
∴sin2A=2sinAcosA=

35

18

，cos2A=2cos²A-1=-

17

18

，
∴sin（2A+30°）=sin2Acos30°+cos2Asin30°
=

35

6

×

3

2

+（-

17

18

）×

1

2

=

3 105 -17

36

．

点评：本题考查解三角形，考查向量的数量积的坐标运算与余弦定理．突出考查倍角公式与两角和的正弦的综合应用，属于中档题．