Question

18．已知使关于x的不等式$\frac{2lnx}{x}$+1≥$\frac{m}{x}$-$\frac{3}{x^2}$对任意的x∈（0，+∞）恒成立的实数m的取值集合为A，函数f（x）=$\sqrt{16-{x^2}}$的值域为B，则有（　　）

• A． B⊆A
• B． A⊆∁_RB
• C． A⊆B
• D． A∩B=∅

Answer 1

分析 用恒成立问题中的分离参数法求出m的范围，求出f（x）的值域，利用集合的关系的定义判定答案．

解答 解：不等式$\frac{2lnx}{x}$+1≥$\frac{m}{x}$-$\frac{3}{x^2}$对任意的x∈（0，+∞）恒成立
⇒m≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$，设g（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，
g′（x）=$\frac{2}{x}+1-\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2x-3}{{x}^{2}}=\frac{（x-1）（x+3）}{{x}^{2}}$，
x∈（0，1）时，g′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，g′（x＞）0，
∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
g（x）_min=g（1）=4，∴m≤4，故A=（-∞，4]．
∵0≤$\sqrt{16-{x}^{2}}≤4$∴B=[0，4]，∴B⊆A
故选A．

点评 本题考查了集合间的关系及恒成立问题的处理，属于中档题．