Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB=AC=1，PA=2．
（1）求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；
（2）求点P到平面DEF的距离．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出面DEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线PA与平面DEF所成角的正弦值；
（2）利用点P到平面DEF的距离d=

| PF • n |

| n |

，求点P到平面DEF的距离．

解答： 解：（1）以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
由AB=AC=1，PA=2，得A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2），D（

1

2

，0，0），E（

1

2

，

1

2

，0），F（0

1

2

，1），∴

AP

=（0，0，2），

DE

=（0，

1

2

，0），

DF

=（-

1

2

，

1

2

，1），
设面DEF的法向量为

n

=（x，y，z）．
则

y=0 x=2z

取z=1，则

n

=（2，0，1），
设PA与平面DEF所成角为θ，则sin θ=|

2

2 5

|=

5

5

．
（2）∵

PF

=（0，

1

2

，-1），

n

=（2，0，1），
∴点P到平面DEF的距离d=

| PF • n |

| n |

=

5

5

．

点评：本题考查线面角，考查点到平面的距离，考查向量法，正确求出平面的法向量是关键．