题目内容
在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别是 a，b，c，且满足
a-2bsinA=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=
，a=3，求c的值；
（Ⅲ）若b=
，求△ABC的面积的最大值．
| 3 |
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=
| 7 |
（Ⅲ）若b=
| 7 |
考点：余弦定理,正弦定理
专题：计算题,解三角形
分析：（Ⅰ）利用正弦定理可求得sinB=
，在锐角△ABC中，可得角B的值；
（Ⅱ）依题意，利用余弦定理可求得c=2或c=1，经分析可舍去后者，从而可得c的值；
（Ⅲ）由S=
acsinB=
ac，及a2+c2-ac=7，利用基本不等式即可求得△ABC的面积的最大值．
| ||
| 2 |
（Ⅱ）依题意，利用余弦定理可求得c=2或c=1，经分析可舍去后者，从而可得c的值；
（Ⅲ）由S=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
解答：
解：（Ⅰ）∵在锐角△ABC中，
a-2bsinA=0，
∴
sinA-2sinBsinA=0，
∵sinA＞0，
∴sinB=
，又B为锐角，则B=
；
（Ⅱ）由（1）可知，B=
，
∵b=
，根据余弦定理，得 7=a2+c2-2accos
，
整理，得（a+c）2-3ac=7
∵a=3，
∴c2-3c+2=0，
∴c=2或c=1，
当c=1时，（12+(
)2=8＜32，A为钝角，与已知△ABC为锐角三角形矛盾，故舍去，
∴c=2；
（Ⅲ）S=
acsinB=
ac，又a2+c2-ac=7，a2+c2=ac+7≥2ac，
∴ac≤7，
∴S≤
，即△ABC的面积的最大值为
．
| 3 |
∴
| 3 |
∵sinA＞0，
∴sinB=
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）由（1）可知，B=
| π |
| 3 |
∵b=
| 7 |
| π |
| 3 |
整理，得（a+c）2-3ac=7
∵a=3，
∴c2-3c+2=0，
∴c=2或c=1，
当c=1时，（12+(
| 7 |
∴c=2；
（Ⅲ）S=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
∴ac≤7，
∴S≤
7
| ||
| 4 |
7
| ||
| 4 |
点评：本题考查正弦定理与余弦定理，考查函数与方程思想，等价转化思想、分类讨论思想的综合应用，考查运算与求解能力，属于中档题．
练习册系列答案
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已知向量
=(-1，2)，
=（3，m），m∈R，则“m=-6”是“
∥(
+
)”的（ ）
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| A、充要条件 |
| B、充分不必要条件 |
| C、必要不充分条件 |
| D、既不充分也不必要条件 |