Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的中心为原点，焦点F₁，F₂在y轴上，离心率为

3

3

．过F₁的直线l交E于A，B两点，且△ABF₂的周长为4

3

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过圆O：x²+y²=5上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意设出椭圆方程，结合△ABF₂的周长为4

3

求得长半轴长，再由离心率及隐含条件即可求得短半轴长，则椭圆方程可求；
（2）设点P坐标与过点P的椭圆E的切线的方程，联立切线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程后由判别式等于0得到关于切线斜率k的方程，再由根与系数的关系证得答案．

解答： （1）解：设椭圆E的方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
∵AB过F₁且A，B在椭圆上，
则△ABF₂的周长为|AB|+|AF₂|+|BF₂|=|AF₁|+|AF₂|+|BF₁|+|BF₂|=4a=4

3

．
故a=

3

．
又离心率e=

c

a

=

3

3

，∴c=1，b²=a²-c²=2．
故椭圆E的方程为

y2

3

+

x2

2

=1；
（2）证明：设点P（x₀，y₀），过点P的椭圆E的切线l₀的方程为y-y₀=k（x-x₀）．
联立

y-y0=k(x-x0) y2 3 + x2 2 =1

，可得(3+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(kx0-y0)2-6=0．
∵l₀与椭圆E相切，故△=[4k(y0-kx0)]2-4(3+2k2)[2(kx0-y0)2-6]=0．
整理可得(2-x02)k2+2kx0y0-(y02-3)=0．
设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k₁，k₂，则k1•k2=-

y02-3

2-x02

．
因点P在圆O上，∴x02+y02=5，
∴k1•k2=-

5-x02-3

2-x02

=-1．
故两条切线的斜率之积为常数-1．

点评：本题主要考查椭圆的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点，考查了数学转化思想方法，是压轴题．