Question

9．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{49}$+$\frac{{y}^{2}}{24}$=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，点A在椭圆上，且|AF₂|=6，则△AF₁F₂的面积是24．

Answer 1

分析 根据椭圆方程求得离心率及右准线方程，根据椭圆的第二定义，求得A点横坐标，代入椭圆方程求得纵坐标，根据三角形面积公式△AF₁F₂的面积是$\frac{1}{2}$•2c•|y_A，即可求得△AF₁F₂的面积．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{49}$+$\frac{{y}^{2}}{24}$=1，a=7，b=2$\sqrt{6}$，
c=$\sqrt{49-24}$=5，
由离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{7}$，
右准线方程为x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{49}{5}$，
|AF₂|=ed=e（$\frac{{a}^{2}}{c}$-x_A）=a-ex_A=6，
即为7-$\frac{5}{7}$x_A=6，可得x_A=$\frac{7}{5}$，
y_A=±$\sqrt{24（1-\frac{1}{25}）^{2}}$=±$\frac{24}{5}$，
则△AF₁F₂的面积是$\frac{1}{2}$•2c•|y_A|
=5•$\frac{24}{5}$=24．
故答案为：24．

点评 本题考查椭圆的简单性质，椭圆的第二定义的应用，三角形的面积公式，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．