Question

17．函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+（3-a）x+b在（0，+∞）上既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为x²-ax+（3-a）=0有2个正的实数根，根据二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+（3-a）x+b，
f′（x）=x²-ax+（3-a），（x＞0），
若函数f（x）在（0，+∞）上既有极大值又有极小值，
则x²-ax+（3-a）=0有2个正的实数根，
故$\left\{\begin{array}{l}{△{=a}^{2}-4（3-a）＞0}\\{a＞0}\\{3-a＞0}\end{array}\right.$，
解得：2＜a＜3．

点评 本题考查了导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．