Question

已知函数f（x）=2sin²x+bsinxcosx满足f（

π

6

）=2．
（1）求实数b的值以及函数f（x）的最小正周期；
（2）记g（x）=f（x+t），若函数g（x）是偶函数，求实数t的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=1-cos2x+

b

2

sin2x，由f（

π

6

）=2．有1-cos2×

π

6

+

b

2

sin2×

π

6

=1-

1

2

+

b

2

×

3

2

=2，从而解得b=2

3

，有f（x）=1-cos2x+

b

2

sin2x=1-cos2x+

3

sin2x=1-2sin（2x-

π

6

），从而可求T=

2π

2

=π．
（2）由g（x）=f（x+t）=1-2sin[2（x+t）-

π

6

]=1-2sin（2x+2t-

π

6

），函数g（x）是偶函数，从而有2t-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，从而解得t=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z

解答： 解：（1）f（x）=2sin²x+bsinxcosx=1-cos2x+

b

2

sin2x
∵f（

π

6

）=2．
∴1-cos2×

π

6

+

b

2

sin2×

π

6

=1-

1

2

+

b

2

×

3

2

=2，从而解得b=2

3

∴f（x）=1-cos2x+

b

2

sin2x=1-cos2x+

3

sin2x=1-2sin（2x-

π

6

）
∴T=

2π

2

=π
即函数f（x）的最小正周期是π．
（2）g（x）=f（x+t）=1-2sin[2（x+t）-

π

6

]=1-2sin（2x+2t-

π

6

）
∵函数g（x）是偶函数，
∴2t-

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，从而解得t=

kπ

2

+

π

3

，k∈Z

点评：本题主要考查了正弦函数的图象，三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查．