Question

已知函数f（x）=

a

x

-lnx，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=-x．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数，由f′（1）=-a-1=1求得a的值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a的值代入函数解析式，求出导函数，得到导函数的零点，判断原函数的单调性，从而求得原函数的极值点并求得极值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

a

x

-lnx，
∴f′(x)=-

a

x2

-

1

x

，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=-x，
∴f′（1）=-a-1=1，
∴a=-2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=-

2

x

-lnx，则f′(x)=

2

x2

-

1

x

=

2-x

x2

，
令f′（x）=0，解得x=2，
又f（x）的定义域为（0，+∞），
当x∈（0，2）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，2）内为增函数，
当x∈（2，∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（2，∞）内为减函数．
由此知函数f（x）在x=2处取得极大值，为f（2）=-1-ln2．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查了利用导数求函数的极值，是中档题．