Question

设双曲线C：

x2

2

-y²=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，垂直子x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q．
（Ⅰ）求直线A₁P与直线A₂Q的交点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设点T（2，0）．过点F（1，0）作直线l与（Ⅰ）中的轨迹E交于不同的两点名A、B，设

FA

=λ

FB

，若λ∈[-2，-1]，求|

TA

+

TB

|的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）利用三点共线建立方程，利用P（x₀，y₀）在双曲线上，即可求得轨迹方程
（Ⅱ）用坐标表示

TA

+

TB

，利用韦达定理，求得模长，从而可得函数关系式，进而可求其范围．

解答： 解：（Ⅰ）设P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），直线A₁P与直线A₂Q的交点M（x，y），
∵双曲线C：

x2

2

-y²=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，∴A1(-

2

，0)，A2(

2

，0)，
∴由A₁、P、M三点共线，得(x0+

2

)y=y0(x+2)，…①
由A₂、Q、M三点共线，得(x0-

2

)y=y0(x-2)，…②
联立③、④，解得x₀=

2

x

，y₀=

2 y

x

，
∵P（x₀，y₀）在双曲线上，∴

( 2 x )2

2

+(

2 y

x

)2=1，
∴轨迹E的方程为

x2

2

+y²=1．（x≠0，y≠0）
（Ⅱ）由题意直线l的斜率不为0．故可设直线l的方程为x=ky+1，
代入

x2

2

+y2=1中，得（k²+2）y²+2ky-1=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由根与系数的关系，
得y₁+y₂=

-2k

k2+2

，…③，y₁y₂=

-1

k2+2

，…④
∵

FA

=λ

FB

，∴有

y1

y2

=λ，（λ＜0）
将③式平方除以④式，得

y1

y2

+

y2

y1

+2=λ+

1

λ

+2=

-4k2

k2+2

，
由λ∈[-2，-1]，得-

1

2

≤λ+

1

λ

+2≤0，
∴-

1

2

≤

-4k2

k2+2

≤0，∴0≤k2≤

2

7

，
∵

TA

+

TB

=（x₁+x₂-4，y₁+y₂），
∴|

TA

+

TB

|²=（x₁+x₂-4）²+（y₁+y₂）²=16-

28

k2+2

+

8

(k2+2)2

，
令t=

1

k2+2

，∵0≤k2≤

2

7

，∴

7

16

≤

1

k2+2

≤

1

2

，即t∈[

7

16

，

1

2

]
∴|

TA

+

TB

|²=f（t）=8t²-28t+16=8（t-

7

4

）²-

17

2

，
而t∈[

7

16

，

1

2

]，∴f（t）∈[4，

169

32

]
∴|

TA

+

TB

|∈[2，

13 2

8

]．

点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力．