Question

13．若$sinα+cosα=\sqrt{2}$，则$sin（α+\frac{π}{3}）$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．

Answer 1

分析 由两角和的正弦函数公式可得：$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，解得：α=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，进而利用两角和的正弦函数公式即可 计算得解．

解答 解：∵$sinα+cosα=\sqrt{2}$，可得：$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=1，可得：α+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：α=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴$sin（α+\frac{π}{3}）$=sin（2kπ+$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$）=sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．