Question

判断函数f（x）=-x²+xlnx的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：先求出f′（x）f′（x）_max=f′（1）=0，从而f′（x）＜0，得函数f（x）在定义域内递减；

解答： 解：∵f（x）=-x²+xlnx，
∴函数的定义域为（0，+∞）
∴f′（x）=-2x+1+lnx，
设g（x）=-2x+1+lnx，
∴g′（x）=-2+

1

x

令g′（x）=0，解得x=

1

2

当g′（x）＞0时，即0＜x＜

1

2

，函数g（x）单调递增，
当g′（x）＜0时，即x＞

1

2

，函数g（x）单调递减，
∴当x=

1

2

，函数有最大值，g（x）_max=g（

1

2

）=ln

1

2

＜0，
∴f′（x）＜0，
∴函数f（x）=-x²+xlnx在（0，+∞）上单调递减

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，要求学生掌握导函数的正负与函数单调性的关系，即当导函数值大于0时，函数单调递增；当导函数小于0时，函数单调递减．