Question

9．已知{a_n}是各项均为正数的等差数列，公差为2．对任意的n∈N^*，b_n是a_n和a_n+1的等比中项．设c_n=b²_n+1-b_n²，n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{c_n}是等差数列．
（Ⅱ）若c₁=16，求数列a_n的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得${{b}_{n}}^{2}={a}_{n}{a}_{n+1}$，结合c_n=b²_n+1-b_n²，直接利用等差数列的定义证明数列{c_n}是等差数列；
（Ⅱ）由c₁=16列式求得a₁，再代入等差数列的通项公式求得数列a_n的通项公式．

解答 （Ⅰ）证明：由题意，${{b}_{n}}^{2}={a}_{n}{a}_{n+1}$，又c_n=b²_n+1-b_n²，
∴${c}_{n}-{c}_{n-1}=（{{b}_{n+1}}^{2}-{{b}_{n}}^{2}）-（{{b}_{n}}^{2}-{{b}_{n-1}}^{2}）$=（a_n+1a_n+2-a_na_n+1）-（a_na_n+1-a_n-1a_n）
=a_n+1（a_n+2-a_n）-a_n（a_n+1-a_n-1）=${a}_{n+1}•2d-{a}_{n}•2d=2d（{a}_{n+1}-{a}_{n}）=2{d}^{2}=8$．
∴数列{c_n}是等差数列；
（Ⅱ）解：∵c₁=16，∴${{b}_{2}}^{2}-{{b}_{1}}^{2}=8$，
∴a₂a₃-a₁a₂=16，即a₂（a₃-a₁）=16，（a₁+d）•2d=16，解得a₁=2．
∴a_n=2+（n-1）•2=2n．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．