Question

15．已知$\overrightarrow i$与$\overrightarrow j$为相互垂直的单位向量，$\overrightarrow a$=$\overrightarrow i$-2$\overrightarrow j$，$\overrightarrow b$=$\overrightarrow i$+λ$\overrightarrow j$，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}，+∞}$）
• B． （-∞，$\frac{1}{2}}$）
• C． （-∞，-2）∪（-2，$\frac{1}{2}}$）
• D． （-2，$\frac{2}{3}}$）∪（${\frac{2}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 由题意可得，$\overrightarrow{i}•\overrightarrow{j}$=0，再根据$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＞0且$\overrightarrow{a}$与 $\overrightarrow{b}$不共线，求得实数λ的取值范围．

解答 解：知$\overrightarrow i$与$\overrightarrow j$为相互垂直的单位向量，$\overrightarrow a$=$\overrightarrow i$-2$\overrightarrow j$，$\overrightarrow b$=$\overrightarrow i$+λ$\overrightarrow j$，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为锐角，∴$\overrightarrow{i}•\overrightarrow{j}$=0，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=（$\overrightarrow{i}$-2$\overrightarrow{j}$）•（$\overrightarrow{i}$+λ$\overrightarrow{j}$）=${\overrightarrow{i}}^{2}$+（λ-2）$\overrightarrow{i}•\overrightarrow{j}$-2λ${\overrightarrow{j}}^{2}$=1-2λ＞0，
且$\overrightarrow{a}$与 $\overrightarrow{b}$不共线，即$\frac{1}{1}$≠$\frac{-2}{λ}$，即λ≠-2．
综上可得，实数λ的取值范围为：λ＜$\frac{1}{2}$且λ≠-2，
故选：C．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角，两个向量共线的性质，属于基础题．