Question

先解答（1），再通过结构类比解答（2）：
（1）请用tanx表示tan（x+

π

4

），并写出函数y=tan（x+

π

4

）的最小正周期；
（2）设x∈R，a为非零常数，且f（x+2a）=

1+f(x)

1-f(x)

，试问f（x）是周期函数吗？证明你的结论．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：（1）由两角和的正切公式可得示tan（x+

π

4

），易得函数的周期；（2）类比可得f（x）是以8a为其一个周期的周期函数，由周期的定义证明即可．

解答： 解：（1）由两角和的正切公式可得tan(x+

π

4

)=

tanx+tan π 4

1-tanxtan π 4

=

1+tanx

1-tanx

；
函数y=tan(x+

π

4

)的最小正周期为π；
（2）f（x）是以8a为其一个周期的周期函数，下面证明：
∵f(x+4a)=f((x+2a)+2a)=

1+f(x+2a)

1-f(x+2a)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，
∴f(x+8a)=f((x+4a)+4a)=-

1

f(x+4a)

=-

1

- 1 f(x)

=f(x)，
∴f（x）是周期函数，其中一个周期为8a

点评：本题考查两角和与差的正切函数，涉及三角函数的周期性，属中档题．