Question

15．若实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\;\\ y≤x\;\\ x+y+a≤0\;\end{array}\right.$且z=x+3y的最大值为4，则实数a的值为-2．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到a的值．

解答 解：不等式组约束条件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\;\\ y≤x\;\\ x+y+a≤0\;\end{array}\right.$对应的平面区域如图：
由z=x+3y得y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$z，
平移直线y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$z，则由图象可知当直线y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$z经过点A时直线y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$z的截距最大，
此时z最大，为x+3y=4
由$\left\{\begin{array}{l}{x=y}\\{x+3y=4}\end{array}\right.$，
解得A（1，1），
此时点A在x+y+a=0上，
即2+a=0，
解得a=-2
故答案为：-2．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．