Question

数列{a_n}，2S_n=a_n+1+1-2ⁿ⁺¹，n∈N⁺且a₁，a₂+5，a₃为等差数列
（1）求a₁，a_n；
（2）求证一切正整数n，有

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由2S_n=a_n+1+1-2ⁿ⁺¹，n∈N⁺，取n=1，2，可得2a₁=a₂-3，2（a₁+a₂）=a₃-7．由a₁，a₂+5，a₃为等差数列，可得2（a₂+5）=a₁+a₃．联立解得a₁=1．
当n≥2时，2Sn-1=an+1-2n，k可得2a_n=2S_n-2S_n-1，an+1+2n+1=3(an+2n)，再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）当n≥4时，

1

an

=

1

3n-2n

＜

1

3×2n

，利用“放缩法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： （1）解：∵2S_n=a_n+1+1-2ⁿ⁺¹，n∈N⁺，
取n=1，2，可得2a₁=a₂-3，2（a₁+a₂）=a₃-7．
∵a₁，a₂+5，a₃为等差数列，
∴2（a₂+5）=a₁+a₃．
联立

2a1=a2-3 2(a1+a2)=a3-7 2(a2+5)=a1+a3

，解得

a1=1 a2=5 a3=19

．
当n≥2时，2Sn-1=an+1-2n，
∴2a_n=2S_n-2S_n-1=a_n+1+1-2ⁿ⁺¹-(an+1-2n)，
化为an+1=3an+2n，
变形为an+1+2n+1=3(an+2n)，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为1，公比为3．
∴an+2n=3n，
∴an=3n-2n．
（2）证明：∵当n≥4时，

1

an

=

1

3n-2n

＜

1

3×2n

，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=1+

1

5

+

1

19

+

1 3 × 1 16 [1-( 1 2 )n-3]

1- 1 2

＜1+

1

5

+

1

19

+

1

24

＜

3

2

．
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．