Question

15．已知函数y=f（x）满足f（x-1）=2x+3a，且f（a）=7．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=x•f（x）+λf（x）+x在[0，2]上最大值为2，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）根据配凑法即可求出函数的解析式，
（2）化简g（x），根据二次函数的性质，分类讨论即可求出λ的值，

解答 解：（1）f（x-1）=2x+3a=2（x-1）+3a+2，
则f（x）=2x+3a+2，
∵f（a）=7，
∴2a+3a+2=7，
解得a=1，
∴f（x）=2x+5，
（2）g（x）=x•f（x）+λf（x）+x=x（2x+5）+2λx+5λ=2x²+（6+2λ）x+5λ，
则其对称轴为x=-$\frac{3+λ}{2}$，
当-$\frac{3+λ}{2}$≤0时，即λ≥-3时，函数g（x）在[0，2]上单调递增，故g（x）_max=g（2）=9λ+20，
当-$\frac{3+λ}{2}$≥2时，即λ≤-7时，函数g（x）在[0，2]上单调递减，故g（x）_max=g（0）=5λ，
当0＜-$\frac{3+λ}{2}$≤1时，即-5≤λ＜-3时，g（x）_max=g（2）=9λ+20，
当1＜-$\frac{3+λ}{2}$＜2时，即-7＜λ＜-5时，g（x）_max=g（0）=5λ，
故，当λ≥-5时，g（x）_max=g（2）=9λ+20=2，解得λ=-2，
当λ＜-5时，g（x）_max=g（0）=5λ=2，解的λ=$\frac{2}{5}$，舍去
综上所述λ的值为-2

点评 本题考查了函数解析式的求法和二次函数的性质，关键时分类讨论，属于中档题．