Question

7．（1）已知α为第二象限角，且 sinα=$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，求$\frac{{sin（α+\frac{π}{4}）}}{sin2α+cos2α+1}$的值
（2）求值：$\frac{1}{sin10°}$-$\frac{\sqrt{3}}{sin80°}$．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数基本关系式求出余弦函数值，利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，代入求解即可．
（2）通分然后利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简求解即可．

解答 解：（1）∵$sinα=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$α为第二象限的角
∴$cosα=-\sqrt{1-{{sin}^2}α}=-\frac{1}{4}$…2分
∴$\frac{{sin（α+\frac{π}{4}）}}{sin2α+cos2α+1}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinα+\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosα}}{{2sinαcosα+2{{cos}^2}α}}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{2cosα}$=$-\sqrt{2}$…5分
（2）原式=$\frac{cos10°-\sqrt{3}sin10°}{sin10°•cos10°}$
=$\frac{2（cos60°•cos10°-sin60°•sin10°）}{\frac{1}{2}sin20°}$…8分
=$\frac{4cos70°}{sin20°}$=4…10分

点评 本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查计算能力．