Question

3．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）．一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（I）求直方图中a的值；
（ II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（ III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），则每位居民的月均用水量x在哪一组？，并说明理由．

Answer 1

分析 （I）根据频率和为1，列出方程求出a的值；
（II）根据频率分布直方图，求出月均用水量不低于3吨人数所占百分比，计算对应的人数；
（III）求出月均用水量小于2.5吨和小于3吨的百分比，计算出有85%的居民每月用水量不超过标准的值．

解答 解：（I）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1
∵频率=（频率/组距）*组距
∴0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，解得：a=0.3 （4分）
∴a的值为3；
（II）由图，不低于3吨人数所占百分比为0.5×（0.12+0.08+0.04）=12%  （6分）
∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：30×12%=3.6（万）  （8分）
（III）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73 （10分）
即73%的3居民月均用水量小于2.5吨，
同理，0.5（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.88
即88%的居民月均用水量小于3吨，
故2.5＜x＜3，（12分）

点评 本题考查的知识点是频率分布直方图，用样本估计总体，考查计算能力，难度不大，属于中档题．