Question

20．已知函数f（x）=ax²+bx-lnx（a，b∈R）．
（1）设b=2-a，求f（x）的零点的个数；
（2）设a＞0，且对于任意x＞0，f'（1）=0，试问lna+2b是否一定为负数，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，讨论a的范围，判断函数的单调性，然后求解函数的零点．
（2）由a＞0，求出函数的$f'（x）=2ax+b-\frac{1}{x}=0$，得到f（x）的唯一的极小值点，推出b=1-2a．构造函数
g（x）=2-4x+lnx，利用导函数通过函数的单调性，求出函数的最值，即可证明lna+2b一定为负数．

解答 解：（1）∵$b=2-a，f'（x）=\frac{{（{2x-1}）（{ax+1}）}}{x}$．
若a≥0，f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上是减函数，（$\frac{1}{2}$，+∞）是增函数；
①0≤a＜4（1+ln2）时，无零点； ②a=4（1+ln2）时有一个零点； ③a＞4（1+ln2）时有两个零点．
若a＜0时，
①-2＜a＜0，（0，$\frac{1}{2}$）函数是减函数，（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{a}$）函数是增函数，（-$\frac{1}{a}$，+∞）函数是减函数，f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{a}{4}$+1+ln2＞0，只有一个零点；
②a=-2，（0，+∞）是减函数只有一个零点；
③a＜-2，（0，$-\frac{1}{a}$）函数是减函数，（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）函数是增函数，（$\frac{1}{2}$，+∞）函数是减函数，f（-$\frac{1}{a}$）=-$\frac{1}{a}$+1+ln（-a）＞0，只有一个零点；
综上得：0≤a＜4（1+ln2）时，无零点；a＜0或a=4（1+ln2）时有一个零点； a＞4（1+ln2）时有两个零点．
（2）由a＞0，且对于任意x＞0，f'（1）=0．
由$f'（x）=2ax+b-\frac{1}{x}=0$，得$\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}$是f（x）的唯一的极小值点，
故$\frac{{-b+\sqrt{{b^2}+8a}}}{4a}=1$，整理得2a+b=1，即b=1-2a．
令g（x）=2-4x+lnx，则$g'（x）=\frac{1-4x}{x}$，
令g'（x）=0得x=$\frac{1}{4}$，当$0＜x＜\frac{1}{4}$时，g'（x）＞0，g（x）单调递增； 
当$x＞\frac{1}{4}$时，g'（x）＜0，g（x）单调递淢，
因此$g（x）≤g（{\frac{1}{4}}）=1+ln\frac{1}{4}=1-ln4＜0$，
故g（a）＜0，即2-4a+lna=2b+lna＜0，即lna+2b一定为负数．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值、最值，考查转化思想以及构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力、