Question

已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若时，关于的方程有唯一解，求的值；
（3）当时，证明: 对一切，都有成立．

Answer 1

（1）当k是奇数时， f(x)在(0,+)上是增函数;     
当k是偶数时，f (x)在上是减函数，在上是增函数．
（2）
（3）当时， 问题等价于证明
由导数可求的最小值是，当且仅当时取到，
设，利用导数求解。

试题分析：（1）由已知得x＞0且．
当k是奇数时，，则f(x)在(0,+)上是增函数;     
当k是偶数时，则．　  
所以当x时，，当x时，．
故当k是偶数时，f (x)在上是减函数，在上是增函数．…………4分
（2）若，则．
记 ,
若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；   令,得．因为，所以（舍去），． 当时，，在是单调递减函数；
当时，，在上是单调递增函数．
当x=x₂时, ，．   因为有唯一解，所以．
则 即  设函数，
因为在x>0时，h (x)是增函数，所以h (x) = 0至多有一解．
因为h (1) = 0，所以方程(*)的解为x ₂ = 1，从而解得…………10分
另解:即有唯一解,所以:,令,则,设，显然是增函数且，所以当时，当时，于是时有唯一的最小值，所以，综上：．
（3）当时， 问题等价于证明
由导数可求的最小值是，当且仅当时取到，
设，则，
易得，当且仅当 时取到，
从而对一切，都有成立．故命题成立．…………16分
点评：难题，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，不等式恒成立问题，是导数应用的常见问题，本题因为参数的引入，增大了讨论的难度，学生易出错。不等式恒成立问题，往往通过构造函数，研究函数的最值，使问题得解。