Question

设函数(其中).
(Ⅰ) 当时,求函数的单调区间；
(Ⅱ) 当时,求函数在上的最大值.

Answer 1

(Ⅰ) 函数的递减区间为,递增区间为, (Ⅱ)

(Ⅰ) 当时,
,
令,得,
当变化时,的变化如下表:

		极大值		极小值

右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.
(Ⅱ),
令,得,,
令,则,所以在上递增,
所以,从而,所以
所以当时,；当时,；
所以
令,则,
令,则
所以在上递减,而
所以存在使得,且当时,,
当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减.
因为,,
所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.
综上,函数在上的最大值.
(1)根据k的取值化简函数的表达式，明确函数的定义域，然后利用求导研究函数的单调区间，中规中矩；（2）借助构造函数的技巧进行求解，如构造达到证明的目的，构造达到证明的目的.
【考点定位】本题考查函数的单调性和函数的最值问题，考查学生的分类讨论思想和构造函数的解题能力.