Question

已知函数的图象在点处的切线斜率为．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）判断方程根的个数，证明你的结论；
（Ⅲ）探究：是否存在这样的点，使得曲线在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）
（2）方程有且只有一个实根．
（3）存在唯一点使得曲线在点附近的左、右两部分分别
位于曲线在该点处切线的两侧．

试题分析：解法一：（Ⅰ）因为，所以，
函数的图象在点处的切线斜率．
由得：．                    4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令．
因为，，所以在至少有一个根．
又因为，所以在上递增，
所以函数在上有且只有一个零点，即方程有且只有一
个实根．                         7分
（Ⅲ）证明如下：
由，，可求得曲线在点处的切
线方程为，
即．                    8分
记
，
则．               11分
（1）当，即时，对一切成立，
所以在上递增．
又，所以当时，当时，
即存在点，使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线
在该点处切线的两侧．                   12分
（2）当，即时，
时，；时，；
时，．
故在上单调递减，在上单调递增．
又，所以当时，；当时，，
即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的
同侧．                                   13分
（3）当，即时，
时，；时，；时，．
故在上单调递增，在上单调递减．
又，所以当时，；当时，，
即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧．
综上，存在唯一点使得曲线在点附近的左、右两部分分别
位于曲线在该点处切线的两侧．                             14分
解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；
（Ⅲ）证明如下：
由，，可求得曲线在点处的切
线方程为，
即．                  8分
记
，
则．            11分
若存在这样的点，使得曲线在该点附近的左、右两部分都
位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t不是极值点，
由二次函数的性质知，当且仅当，即时，
t不是极值点，即．
所以在上递增．
又，所以当时，；当时，，
即存在唯一点，使得曲线在点附近的左、右两部分分别
位于曲线在该点处切线的两侧．                         14分
点评：本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，函数与方程思想、数形结合思想、考查化归与转化思想．