Question

函数
（1）若，证明；
（2）若不等式时和都恒成立，求实数的取值范围。

Answer 1

（1）构造函数g(x)="f(x)-" ，利用导数来判定单调性得到证明。
（2）或

试题分析：（1）令g(x)="f(x)-" ="ln(x+1)-" ，
则g^′(x)=  -∵x＞0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上是增函数．
故g（x）＞g（0）=0，即f(x)＞
（2）原不等式等价于x²-f(x²)≤m²-2bm-3．
令h(x)= x²-f(x²)=x²-ln(1+x²)，
则h^′(x)=x-=
令h′（x）=0，得x=0，x=1，x=-1．
∴当x∈[-1，1]时，h（x）_max=0，
∴m²-2bm-3≥0．令Q（b）=-2mb+m²-3，
则Q(1)=m²-2m-3≥0, Q(-1)=m²+2m-3≥0
解得m≤-3或m≥3．
点评：本题考查函数的导数和函数思想的应用，本题解题的关键是构造新函数，对于新函数进行求导求最值，再利用函数的思想来解题，这种题目可以出现在高考卷中