Question

14．已知F₁、F₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆上一动点，满足：
①∠F₁AF₂的最大值为60°
 ②若圆C与F₁A的延长线、F₁F₂的延长线以及线段AF₂相切，则M（2，0）为其中一个切点，则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

Answer 1

分析 由题意可知：由切线的性质可知：丨AP丨=丨AQ丨，丨F₂Q丨=丨F₂M丨，丨F₁P丨=丨F₁M丨，丨MF₂丨=丨QF₂丨=（丨AF₁丨+丨AF₂丨）-（丨AF₁丨+丨AQ丨），2a-丨F₁M丨，丨MF₁丨+丨MF₂丨=2a，即丨OF₁丨+丨OM丨+丨OM丨-丨OF₂丨=2a，即可求得a=2，当A位于短轴顶点时，∠F₁AF₂最大，因此△F₁AF₂为等边三角形，即可求得c的值，则b²=a²-c²=3，即可求得椭圆的标准方程．

解答 解：由题意知，圆C是△AF₁F₂的旁切圆，
点M（2，0）是圆C与x轴的切点，
设圆C与直线F₁A的延长线、AF₂分别相切于点P，Q，
则由切线的性质可知：
丨AP丨=丨AQ丨，丨F₂Q丨=丨F₂M丨，丨F₁P丨=丨F₁M丨，
∴丨MF₂丨=丨QF₂丨=（丨AF₁丨+丨AF₂丨）-（丨AF₁丨+丨AQ丨）
=2a-丨AF₁丨-丨AQ丨
=2a-丨F₁P丨
=2a-丨F₁M丨
∴丨MF₁丨+丨MF₂丨=2a，丨OF₁丨+丨OM丨+丨OM丨-丨OF₂丨=2a，
∴2+2=2a，解得：a=2．
由∠F₁AF₂的最大值为60°，即当A位于短轴顶点时，∠F₁AF₂最大，
∴△F₁AF₂为等边三角形，
∴2c=2，c=1，
b²=a²-c²=3，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

点评 本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想，属于中档题．