Question

5．由直线y=x+2上的点P向圆C：（x-4）²+（y-2）²=1引切线PT（T为切点），当|PT|的值最小时，点P的坐标是（　　）

• A． （-1，1）
• B． （0，2）
• C． （-2，0）
• D． （1，3）

Answer 1

分析 连结CT，可得CT⊥PT，Rt△PCT中利用勾股定理算出|PT|=$\sqrt{|PC{|}^{2}-1}$，根据点P在直线y=x+2上，设P的坐标为 P（x，x+2），将|PT|表示成关于x的函数，利用二次函数的性质可得：P的坐标为（0，2）时，|PT|有最小值，从而得到本题答案．

解答 解：圆（x-4）²+（y+2）²=1的圆心为C（4，-2），半径r=1，
连结CT，可得
∵PT是圆C的切线，∴CT⊥PT
根据勾股定理得|PT|=$\sqrt{|PC{|}^{2}-1}$，
设P（x，x+2），可得
|PT|=$\sqrt{2{x}^{2}+31}$
因此当x=0时，|PT|_min=$\sqrt{31}$．此时P的坐标为（0，2）．
故选B．

点评 本题着重考查了圆的方程、直线与圆的位置关系、两点间的距离公式和二次函数的性质等知识，属于中档题．