Question

9．关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2$\sqrt{2}$，求圆的方程．

Answer 1

分析 设出圆的标准方程，由已知条件列出方程组，求出圆心和半径，由此能求出圆的方程．

解答 解：设所求圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，则圆心为（a，b），半径为r，
∵A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点A′仍在圆上，
∴圆心（a，b）在直线x+2y=0上，
∴a+2b=0，①
且（2-a）²+（3-b）²=r²，②
${r}^{2}-（\frac{|a-b+1|}{\sqrt{2}}）^{2}=（\sqrt{2}）^{2}$，
由①②③得$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{b=-3}\\{{r}^{2}=52}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=14}\\{b=-7}\\{{r}^{2}=244}\end{array}\right.$，
∴圆的方程为（x-6）²+（y+3）²=52或（x-14）²+（y+7）²=244．

点评 本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．