Question

18．已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，P为棱A₁B₁上一点，BC=10，CD=10，CC₁=4，则AP+PC₁的最小值为$2\sqrt{74}$．

Answer 1

分析 长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是棱A₁B₁上一动点，求AP+PC₁的最小值可将以A₁B₁为相交棱的两个侧面展开成一个平面，从平面上可以看出当三点A、P、C₁在一条直线上时，AP+PC₁的值最小，此时线段恰好是直角三角形的斜边．由勾股定理求值即可．

解答 解：将长方体的侧面沿棱A₁B₁展开成一个平面，则AP+PC₁的最小值即为线段AC₁的值，
又BC=10，CD=10，CC₁=4，故直角三角形ABC₁中两条直角边的长度分别为BC₁=14，AB=10，
由勾股定理得AC₁=$\sqrt{{14}^{2}+{10}^{2}}$=2$\sqrt{74}$，
即AP+PC₁的最小值为2$\sqrt{74}$．
故答案为：$2\sqrt{74}$．

点评 本题考点是点、线、面间的距离计算，考查对长方体结构特征的了解，本题把求拆线长度的问题转变为求两点间距离的问题，将一个立体几何中求长度的问题转化为平面中两点线段的长度体现了数学中化归的思想，立体几何中的问题有不少都是借助化归思想将空间中的问题转化到平面中解决，大大降低了解题的难度．