Question

定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=

x2-x，      x∈[0，1) 1 10 (x-2)，x∈[1，2].

若x∈[4，6]时，f（x）≥t²-2t-4恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A、[-

  6

  5

  ，3]
• B、[1-

  5

  ，1+

  5

  ]
• C、[-1，3]
• D、[0，2]

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：先确定当x∈[0，2]时，f（x）的最小值为-

1

4

，利用函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），可得x∈[4，6]时，f（x）的最小值为-1，从而可得-1≥t²-2t-4，即可得出结论．

解答： 解：当x∈[0，1）时，f（x）=x²-x∈[-

1

4

，0]
当x∈[1，2]时，f（x）=（x-2）x∈[-

1

10

，0]
∴当x∈[0，2]时，f（x）的最小值为-

1

4

，
又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），
当x∈[2，4]时，f（x）的最小值为-

1

2

，
当x∈[4，6]时，f（x）的最小值为-1，
∵x∈[4，6]时，f（x）≥t²-2t-4恒成立，
∴-1≥t²-2t-4
∴（t+1）（t-3）≤0，
解得：-1≤t≤3，
故选：C

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，考查函数的最值，是函数、不等式的综合应用，确定-1≥t²-2t-4是解题的关键．