Question

15．若$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$均为单位向量，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-\frac{1}{2}，\overrightarrow c=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b，（{x，y∈R}）$，则x+y的最大值是2．

Answer 1

分析 由题意可知${\overrightarrow{c}}^{2}$=（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$）²=x²+y²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$xy=x²+y²-xy=1，设x+y=t，y=t-x，得3x²-3tx+t²-1=0，由方程3x²-3tx+t²-1=0有解，知△=9t²-12（t²-1）≥0，由此能求出x+y的最大值

解答 解：$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$均为单位向量，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-\frac{1}{2}，\overrightarrow c=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b，（{x，y∈R}）$，
∴${\overrightarrow{c}}^{2}$=（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$）²=x²+y²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$xy=x²+y²-xy=1，
设x+y=t，y=t-x，得：x²+（t-x）²-x（t-x）-1=0，
∴3x²-3tx+t²-1=0，
∵方程3x²-3tx+t²-1=0有解，
∴△=9t²-12（t²-1）≥0，
-3t²+12≥0，
∴-2≤t≤2
∴x+y的最大值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查平面向量的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意平面向量的数量积和换元法的灵活运用．本题也可用基本不等式解答