题目内容
19．在平面直角坐标系xoy中，角θ满足$sin\frac{θ}{2}=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}，cos\frac{θ}{2}=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}，\overrightarrow{OA}=（{12，5}）$，设点B是角θ终边上的一个动点，则$|{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}|$的最小值为$\frac{56}{5}$．分析 求出sinθ，cosθ，设OB=a，得出B点坐标，从而可得|$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$|关于a的表达式，利用二次函数的性质求出最小值．
解答 解：方法1：sinθ=2sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$=-$\frac{3}{5}$，cosθ=cos2$\frac{θ}{2}$-sin2$\frac{θ}{2}$=$\frac{4}{5}$，
设OB=a，则B（$\frac{4}{5}$a，-$\frac{3}{5}$a），
∴$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$=（12-$\frac{4a}{5}$，5+$\frac{3a}{5}$），
∴|$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$|=$\sqrt{（12-\frac{4a}{5}）^{2}+（5+\frac{3a}{5}）^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{66}{5}a+169}$=$\sqrt{（a-\frac{33}{5}）^{2}+\frac{3136}{25}}$，
∴当a=$\frac{33}{5}$时，|$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$|取得最小值$\sqrt{\frac{3136}{25}}$=$\frac{56}{5}$．
方法2：由方法1可知B点在射线3x+4y=0（x＞0），
∴$|{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}|$的最小值为A到射线3x+4y=0（x＞0）的距离d=$\frac{36+20}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{56}{5}$．
故答案为：$\frac{56}{5}$．
点评 本题考查了平面向量的模长计算，属于中档题．
2017年两会继续关注了乡村教师的问题，随着城乡发展失衡，乡村教师待遇得不到保障，流失现象严重，教师短缺会严重影响乡村孩子的教育问题，为此，某市今年要为两所乡村中学招聘储备未来三年的教师，现在每招聘一名教师需要2万元，若三年后教师严重短缺时再招聘，由于各种因素，则每招聘一名教师需要5万元，已知现在该乡村中学无多余教师，为决策应招聘多少乡村教师搜集并整理了该市100所乡村中学在过去三年内的教师流失数，得到下面的柱状图：
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BB1的中点，则直线MC与平面ACD1所成角的正弦值为（ ）| A． | $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$ | B． | $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$ | C． | $\frac{{\sqrt{15}}}{5}$ | D． | $\frac{{\sqrt{3}}}{5}$ |