Question

12．在正三棱锥S-ABC内任取一点P，使得V_P-ABC＜$\frac{1}{2}{V_{S-ABC}}$的概率是$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 如图所示，O是正△ABC的中心，分别取棱SA，SB，SC的中点D，E，F，则在△DEF及其内部任取一点P，则V_P-ABC=$\frac{1}{2}$V_S-ABC，即可得解．

解答 解：如图所示，O是正△ABC的中心，分别取棱SA，SB，SC的中点D，E，F，
则在△DEF及其内部任取一点P，
则V_P-ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC×$\frac{1}{2}$SO=$\frac{1}{2}$V_S-ABC，
则V_P-ABC＞$\frac{1}{2}$V_S-ABC的点P位于小三棱锥V_S-EDF内，
则对应的概率P=（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{1}{8}$，
因此使得使得V_P-ABC＜$\frac{1}{2}$V_S-ABC的概率是1-$\frac{{V}_{S-DEF}}{{V}_{S-ABC}}$=$\frac{7}{8}$，
故答案为：$\frac{7}{8}$．

点评 本题主要考查几何概型的概率计算，求出对应的体积关系是解决本题的关键，根据比例关系，得到面积之比是相似比的平方，体积之比是相似比的立方，属于中档题．