Question

4．已知函数f（x）=ln（1+x²）+ax（a≤0）
（1）若f（x）在x=0处取极值，求a的值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）证明：$（1+\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{9}）…（1+\frac{1}{3^n}）＜e\sqrt{e}$（  e为自然对数的底数，n∈N^*）．．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（0）=0，求出a的值，检验即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（3）结合（2）得到ln（1+x²）＜x，累加即可．

解答 解：（1）∵${f^/}（x）=\frac{2x}{{1+{x^2}}}+a$，
又∵x=0是f（x）的一个极值点，
∴f′（0）=0，∴a=0，验证知a=0符合条件．
（2）∵${f^/}（x）=\frac{2x}{{1+{x^2}}}+a=\frac{{a{x^2}+2x+a}}{{1+{x^2}}}$
①若a=0时，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；
②若$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\△≤0\end{array}\right.$得，当a≤-1时，f′（x）≤0对x∈R恒成立，
∴f（x）在R上单调递减．
③若-1＜a＜0时，由f′（x）＞0得ax²+2x+a＞0
∴$\frac{{-1+\sqrt{1-{a^2}}}}{a}＜x＜\frac{{-1-\sqrt{1-{a^2}}}}{a}$
再令f′（x）＜0，可得$x＞\frac{{-1-\sqrt{1-{a^2}}}}{a}或x＜\frac{{-1+\sqrt{1-{a^2}}}}{a}$
∴f（x）在$（\frac{{-1+\sqrt{1-{a^2}}}}{a}，\frac{{-1-\sqrt{1-{a^2}}}}{a}）$上单调递增，
在$（-∞，\frac{{-1+\sqrt{1-{a^2}}}}{a}）和（\frac{{-1-\sqrt{1-{a^2}}}}{a}，+∞）$上单调递减
综上所述，若a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；
若-1＜a＜0时，f（x）在$（\frac{{-1+\sqrt{1-{a^2}}}}{a}，\frac{{-1-\sqrt{1-{a^2}}}}{a}）$上单调递增，
在$（-∞，\frac{{-1+\sqrt{1-{a^2}}}}{a}）和（\frac{{-1-\sqrt{1-{a^2}}}}{a}，+∞）$上单调递减；
若a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．
证明：（3）由（2）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）单调递减
当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0∴ln（1+x²）＜x，
∴$ln（1+x）＜\sqrt{x}$，
$\begin{array}{l}ln[{（1+\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{9}）…（1+\frac{1}{3^n}）}]=ln（1+\frac{1}{3}）+ln（1+\frac{1}{9}）+…ln（1+\frac{1}{3^n}）\\＜\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{\frac{1}{9}}+…+\sqrt{\frac{1}{3^n}}=\frac{{\frac{1}{{\sqrt{3}}}（1-{{（\frac{1}{{\sqrt{3}}}）}^n}）}}{{1-\frac{1}{{\sqrt{3}}}}}=\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}＜\frac{3}{2}\\∴（1+\frac{1}{3}）（1+\frac{1}{9}）…（1+\frac{1}{3^n}）＜{e^{\frac{3}{2}}}.\end{array}$

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想、分类讨论思想，是一道综合题．