Question

已知实数x、y满足

2x-y≤0 x-3y+5≥0 x＞0 y＞0

，则z=（

1

2

）^2x•(

1

2

)y的最小值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用指数幂的运算法则，利用数形结合确定z的最小值．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=（

1

2

）^2x•(

1

2

)y=（

1

2

）^2x+y，
设m=2x+y得y=-2x+m，
平移直线y=-2x+m，
由图象可知当直线y=-2x+m经过点A时，直线y=-2x+m的截距最大，
此时m最大．z最小，
由

2x-y=0 x-3y+5=0

，解得

x=1 y=2

，即A（1，2）
A的坐标代入目标函数m=2x+y，
得m=2+2=4．
即z=（

1

2

）^2x•(

1

2

)y=（

1

2

）^2x+y的最大值为（

1

2

）⁴=

1

16

．
故答案为：

1

16

点评：本题主要考查线性规划的应用，结合指数幂的运算法则以及目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．