Question

14．已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n²-n，b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列的前n项和求得首项，再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求出数列通项公式；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$，然后利用裂项相消法求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由S_n=3n²-n，得a₁=S₁=2；
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=（3{n}^{2}-n）-[3（n-1）^{2}-（n-1）]$
=6n-4．
a₁=2适合上式，
∴a_n=6n-4；
（2）由b_n=$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}+\sqrt{{a}_{n+1}}}$=$\frac{\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}}{{a}_{n+1}-{a}_{n}}=\frac{1}{6}（\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}）$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{6}（\sqrt{{a}_{2}}-\sqrt{{a}_{1}}+\sqrt{{a}_{3}}-\sqrt{{a}_{2}}+…+\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{n}}）$
=$\frac{1}{6}（\sqrt{{a}_{n+1}}-\sqrt{{a}_{1}}）=\frac{1}{6}（\sqrt{6n+2}-\sqrt{2}）$．

点评 本题考查数列递推式，训练了利用裂项相消法求数列的通项公式，是中档题．