Question

【题目】如图，数轴x、y的交点为O，夹角为，与x轴、y轴正向同向的单位向量分别是，，由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系xOy中的坐标）

（1）若，为单位向量，且与的夹角为120°，求点P的坐标；

（2）若，点P的坐标为，求向量与的夹角；

（3）若，直线l经过点，求原点O到直线l的距离的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）设出点的坐标，结合为单位向量，且与的夹角为120°，列等式求解即可；

（2）由题意求出，的值，再结合向量的夹角公式求解即可；

（3）由题意得到点A在直角坐标系下的坐标，再由两点的距离公式求解即可.

解：（1）当，为单位向量，且与的夹角为120°，

设,则，且，

即，代入运算可得，即；

（2）若，点P的坐标为，则,

则，

即，

又，

设向量与向量的夹角为，则，

即向量与的夹角为；

（3）当，直线l经过点，设点A在直角坐标系的坐标为，由题意可得，即点A在直角坐标系的坐标为，

又因为直线l经过点，

则原点O到直线l的距离取最大值时，直线l与垂直，且交于点，

即原点O到直线l的距离的最大值为.