Question

【题目】在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），过点作斜率为的直线与圆交于，两点.

（1）若圆心到直线的距离为，求的值；

（2）求线段中点的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先由圆的参数方程消去参数得到圆的普通方程，由题意设直线的方程，再根据点到直线的距离公式即可求出结果；

（2）由题意，设直线的参数方程为（为参数），代入圆的方程，结合韦达定理写出点E坐标，进而可求出结果.

解：（1）由题知，圆的普通方程为，

即圆的圆心为，半径.

依题可设过点的直线的方程为，即，

设圆心到直线的距离为，

则，

解得.

（2）设直线的参数方程为（为参数），，代入圆：，

得.

设，，对应的参数分别为，，，则，

所以，.

又点的坐标满足，

所以点的轨迹的参数方程为，即 ，

化为普通方程为.