Question

对于，定义一个如下数阵：

其中对任意的，，当能整除时，；当不能整除时，．设．
（Ⅰ）当时，试写出数阵并计算；
（Ⅱ）若表示不超过的最大整数，求证：；
（Ⅲ）若，，求证：．

Answer 1

 （Ⅰ）解：依题意可得，
　．
　 ．
（Ⅱ）解：由题意可知，是数阵的第列的和，
因此是数阵所有数的和．
而数阵所有数的和也可以考虑按行相加．
对任意的，不超过的倍数有，，…，．
因此数阵的第行中有个１，其余是，即第行的和为．
所以．
（Ⅲ）证明：由的定义可知，，
所以．
所以．
考查定积分，
将区间分成等分，则的不足近似值为，
的过剩近似值为．
所以．
所以．
所以．
所以．

略