Question

4．如图，在四梭锥A-BCDE中，EB=EA=AB=BC．，∠EBC=90°，M为AC的中点，AB⊥EM．
（1）求证：平面ABE⊥平面ABC；
（2）求二面角B-EM-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中点N，连结EN，MN，推导出AB⊥BC，EB⊥BC，从而BC⊥平面ABE，由此能证明平面ABE⊥平面ABC．
（2）以N为原点，NB为x轴，NM为y轴，NE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-EM-C的余弦值．

解答 证明：（1）取AB中点N，连结EN，MN，
∵EB=EA=AB=BC，M为AC的中点，
∴EN⊥AB，MN∥BC，
∵AB⊥EM，EM∩EN=E，∴AB⊥平面MEN，
∵AB⊥MN，∴AB⊥BC，
∵∠EBC=90°，∴EB⊥BC，
∵EB∩AB=B，∴BC⊥平面ABE，
∵BC?平面ABC，∴平面ABE⊥平面ABC．
解：（2）∵平面ABE⊥平面ABC，平面ABE∩平面ABC=AB，EN⊥AB，
∴EN⊥平面ABC，又MN⊥AB，
∴以N为原点，NB为x轴，NM为y轴，NE为z轴，建立空间直角坐标系，
设EB=EA=AB=BC=2，
则B（1，0，0），E（0，0，$\sqrt{3}$），M（0，1，0），C（1，2，0），
$\overrightarrow{EM}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{EB}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{EC}$=（1，2，-$\sqrt{3}$），
设平面BEM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EM}=y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
设平面CEM的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EM}=a-\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=a+2b-\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，0，1$），
设二面角B-EM-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{4}•\sqrt{4}}$=$\frac{1}{4}$．
∴二面角B-EM-C的余弦值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．