Question

14．函数y=$\frac{2sinx-1}{3sinx+2}$的值域为（-∞，$\frac{1}{5}$]∪[3，+∞），若x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），其值域为（-∞，$\frac{1}{5}$]∪（3，+∞）．

Answer 1

分析 把已知等式变形，求出sinx，利用三角函数的有界性求得答案．

解答 解：由$y=\frac{2sinx-1}{3sinx+2}$，得3ysinx+2y=2sinx-1，
即sinx=$\frac{2y+1}{2-3y}$，
∵|sinx|≤1，∴|$\frac{2y+1}{2-3y}$|≤1，即|2y+1|≤|2-3y|，解得：$y≤\frac{1}{5}$或y≥3，
∴$y=\frac{2sinx-1}{3sinx+2}$的值域为（-∞，$\frac{1}{5}$]∪[3，+∞）；
当x∈[$\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}$）时，满足-1＜sinx|≤1，
∴$-1＜\frac{2y+1}{2-3y}≤1$，
解得：$y≤\frac{1}{5}$或y＞3．
此时函数的定义域为（-∞，$\frac{1}{5}$]∪（3，+∞）．
故答案为：（-∞，$\frac{1}{5}$]∪[3，+∞）；（-∞，$\frac{1}{5}$]∪（3，+∞）．

点评 本题考查函数值域的求法，考查三角函数的有界性，是中档题．