已知x0.x0+$\frac{π}{2}$是函数f(x)=cos2-sin2wx的两个相邻的零点．(1)求f的值,(2)若对任意$x∈[-\frac{7π}{12}.0]$.都有f(x)-m≤0.求实数m的取值范围．(3)若关于x的方程$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}f(x)-m=1$在$x∈[{0.\frac{π}{2}}]$上有两个不同的解.求实数m的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．已知x₀，x₀+$\frac{π}{2}$是函数f（x）=cos²（wx-$\frac{π}{6}$）-sin²wx（ω＞0）的两个相邻的零点．
（1）求f（$\frac{π}{12}$）的值；
（2）若对任意$x∈[-\frac{7π}{12}，0]$，都有f（x）-m≤0，求实数m的取值范围．
（3）若关于x的方程$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}f（x）-m=1$在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上有两个不同的解，求实数m的取值范围．

分析（1）化简f（x），根据函数的周期求出ω的值，从而求出f（x）的解析式，求出函数值即可；
（2）问题转化为m≥f（x）_max，根据三角函数的性质求出f（x）的最大值，求出m的范围即可；
（3）结合函数$y=2sin（2x+\frac{π}{3}）$，$0≤x≤\frac{π}{2}$的解析式，求出y的最大值，得到关于m的不等式，解出即可．

解答解：（1）f（x）=$\frac{1+cos（2ωx-\frac{π}{3}）}{2}$-$\frac{1-cos2ωx}{2}$
=$\frac{1}{2}$[cos（2ωx-$\frac{π}{3}$）+cos2ωx
=$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx）+cos2ωx]
=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{3}{2}$cos2ωx）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）．
由题意可知，f（x）的最小正周期T=π，
∴$\frac{2π}{|2ω|}$=π，又∵ω＞0，∴ω=1，
∴f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2×$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{π}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）由f（x）-m≤0得，f（x）≤m，∴m≥f（x）_max，
∵-$\frac{7π}{12}$≤x≤0，∴-$\frac{5π}{6}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{3}$，∴-1≤sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{3}{4}$，即f（x）_max=$\frac{3}{4}$，
∴$m≥\frac{3}{4}$所以$m∈[\frac{3}{4}，+∞）$；
（3）原方程可化为$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin（2x+\frac{π}{3}）=m+1$
即$2sin（2x+\frac{π}{3}）=m+1$$0≤x≤\frac{π}{2}$，
由$y=2sin（2x+\frac{π}{3}）$，$0≤x≤\frac{π}{2}$，
x=0时，y=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，y的最大值为2，
∴要使方程在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有两个不同的解，
即$\sqrt{3}$≤m+1＜2，即$\sqrt{3}$-1≤m＜1，
所以$m∈[\sqrt{3}-1，1）$．