Question

设函数．

（Ⅰ）若在x=处的切线与直线4x+y=0平行，求a的值；

（Ⅱ）讨论函数的单调区间；

（Ⅲ）若函数的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明．

Answer 1

解：（I）由题知f(x)=2ax²+(a+4)x+lnx的定义域为(0，+∞)，

且．

又∵ f(x)的图象在x=处的切线与直线4x+y=0平行，

∴ ，

解得  a=-6．

（Ⅱ），

由x>0，知>0．

①当a≥0时，对任意x>0，>0，

∴  此时函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞)．

②当a<0时，令=0，解得，

当时，>0，当时，<0，

此时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，+∞)．

（Ⅲ）不妨设A(，0)，B(，0)，且，由（Ⅱ）知 ，

于是要证<0成立，只需证：即．

∵，   ①

，  ②

①-②得，

即，

∴ ，

故只需证，

即证明，

即证明，变形为，

设，令，

则，

显然当t>0时，≥0，当且仅当t=1时，=0，

∴  g(t)在(0，+∞)上是增函数．

又∵ g(1)=0，

∴ 当t∈(0，1)时，g(t)<0总成立，命题得证．