Question

5．已知一个椭圆中心在原点，焦点在同一坐标轴上，焦距为$2\sqrt{13}$．一双曲线和这椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7：3，求椭圆和双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 首先根据焦点分别在x轴、y轴上进行分类，不妨先设焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程，然后根据题意与椭圆、双曲线的性质列方程组，再解方程组求得焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程，最后把焦点在y轴上的椭圆、双曲线的标准方程补充上即可．

解答 解：①焦点在x轴上，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，c=$\sqrt{13}$
设双曲线为$\frac{x^2}{m^2}-\frac{y^2}{n^2}=1$，m=a-4，…（5分）
∵$\frac{e_双}{e_椭}=\frac{7}{3}$，易得a=7，m=3…（7分）
∵椭圆和双曲线的焦距为$2\sqrt{13}$，∴b²=36，n²=4．
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{36}=1$，双曲线方程为$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$…（9分）
②焦点在y轴上，椭圆方程为$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{49}=1$，双曲线方程为$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4}=1$…（12分）

点评 本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．