Question

已知函数f（x）=ax²-bx+1．
（1）若f（x）＞0的解集是（-1，2），求实数a，b的值；
（2）若f（1）=0，且函数f（x）在（0，+∞）上有两个不同的零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,根的存在性及根的个数判断

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）根据不等式的解集转化为方程根的关系即可求出a，b的值．
（2）根据f（1）=0，以及函数的零点利用根与系数之间的关系进行求解．

解答： 解（1）∵不等式ax²-bx+1＞0解集是（-1，2），
故方程ax²-bx+1=0的两根是x₁=-1，x₂=2，
∴

x 1•x2= 1 a =-2 x 1+x2= b a =1

，
解得a=b=-

1

2

． 
（2）∵f（1）=0，
∴f（x）=0的一个根为1，
设另一根为x₀，
∴

a-b+1=0 △=b2-4a＞0 x0+1= b a ＞0 x0•1= 1 a ＞0

，
解得：a＞0且a≠1．

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，要求熟练掌握三个二次之间的关系和相互之间的转化．要熟练掌握根与系数之间的关系的应用．